디지털시대 수학이 힘이다

수학은 정의(definition)로부터 출발하는 학문이다. 필자는 캐나다 만큼 수학적 정의를 무시하는 나라를 본적이 없다. 교과서 조차 수학적 오류들이 너무많이 눈에 띈다.

예 를들어, 학생들에게 prime number(소수)가 무었인지 물어보면 대부분 1과 자기 자신으로 나누어 떨어지는 수라고 대답한다. 그렇다면 1은 prime number인가 아닌가? 전에 강의를 듣던 한 학생이 자기고등학교 수학선생 5명에게 물어봤더니 3명은 prime number이고 2명은 아니라고하여 급기야는 그 학교 수학선생 5명이 모여 토의한 끝에 다수결로 1을 prime number로 정했다는 웃지못할 내용을 그 학생으로부터 들은적이있다.

Prime number의 정의는 약수가 2개인수이다. 그런데 1은 약수가 1 하나 뿐이므로 소수가 아니다. 정의를 제대로 따르면 이와같이 간단한 문제를 많은 교과서들이 수학적 정의를 제대로 싣지않고 내용을 바꾸면서 많은 부분에서 문제가 되고있다.

즉, 이화여자 대학생이면 여학생이지만 여학생이라고 모두다 이대생은 아닌것이다. 그런데 캐나다 수학교과서를 보면 여학생이면 이대생이다,(필요조건을 충분조건처럼 사용하고있다.)라는 식으로 쓰고있다. 또한 캐나다는 초,중,고교 과정에 집합(set)을 도입하지않고 대수(Algebra)에서 접근하다보니 다른 나라에 비해 배우기도, 가르치기도 어렵다. G12과정중 Calculus에서는 미분만 배우고 적분을 배우지않고 대학에 진학하게돼 많은 학생들이 어려움을 겪고있다.

또한, Vector과목에서는 교과서 내용이나 학교에서의 수업내용은 수학적 벡터를 가르치지않고 물리의 벡터를 주로 다룬다. 수학적 벡터는 크기와 방향만 같으면 같은 벡터이고 이를 이용하여 많은 수학적 어려운 문제를 벡터를 사용하여 쉽게 구할수있는데 반해 물리의 벡터는 크기,방향,작용점을 따진다.

물론 수학적 벡터를 다 배우고 나서 시간이 남아 물리의 벡터를 더 공부하는것이라면 문제될게 없겠지만 수학의 벡터는 물리의 벡터와는 비교도안되게 양이 방대하고 할것도 많다. 그런데 대부분이 이런 부분을 생략하고있으니 문제가 아닌가?

Data Management과목에서는 경우의수를 먼저 배우고 확률과 통계를 공부하는게 순서인데도 학교에 따라서는 확률을 먼저 배우고 경우의 수를 가르치는 학교들도 많이있다.

G10 에서는 이차방정식을 먼저 배우고 인수분해를 나중에 가르치는 학교도있다. 세수를 하고 수건으로 얼굴을 닦는게 아니라 수건으로 얼굴먼저 닦고 세수하는 것과 같은 현실이다. 이런 상황에서 효과적인 수학 학습방법에 대한 글을 쓰려니 할말이 너무 많지만 내용을 요약하여 정리해보겠다. 

효과적인 수학 공부방법
수학이 어렵다는 생각부터 전환해야 한다. G8까지는 괜찮았는데 G9부터 어려워지기 시작하여 G11부터는 가장 많은 학생이 fail하는 과목이 수학이다, 등 다양한 소리를 듣는다. 사실 이러한 말이 나오는 것은 두 가지이다.
첫 째 사람들이 수학을 어렵게 생각하는 경향이 있다는 것과 둘째 수학이 진짜 어렵다는 사실이다. 그러나 수학은 어렵지 않고 생각하기 따라서 매우 재미있는과목이다. 그러나 어떤 사람이 수학이 어렵다고 인식할 경우 우선 심리적으로 어느 정도 패배의식이 발생 했다고 볼 수 있다. 수학은 어렵다는 고정관념을 벗어버리고 수학은 내가 하기 나름이다 라고 생각하고 자신감을 갖는 것이 중요하다. 

- 기초부터 다져나간다.
우 선 정의나 정리, 공식 등을 복습하고 쉬운 것부터 정복해 나간다. 처음부터 풀이를 보는 습관을 버려야 한다. 5분 이상 생각해도 모를 때는 풀이를 보아도 좋다. 풀이를 보고 이해가 되었으면 자기 스스로 다시 한번 풀어본다. 풀이를 보면서 문제를 푸는것은 장기적으로 당사자에게 수학적창의력과 문제해결능력, 인내력을 저하시키고 심리적으로 위축감을 심어주어 수학공부를 방해하는 요인이 된다. 

- 학교 수업내용보다 약간 심화 학습을 한다.
학 교수업진도를 따라가기 어렵거나 혹은 실력이 출중해서 학교진도보다 질적으로 앞서나가는 학생이 있을 수 있다. 수업진도를 따라가기 어려운 학생의 경우 방과후나 방학을 이용해서 개인적인 계획에 따라 보충 적인 학습전략을 세워야 할 것이며 학교진도보다 앞서가는 학생은 현재에서 자만하지 말고 보다 개인적시간에서 심화 학습 쪽으로 방향을 선회하는 것이 필요하다. 

- 약한 곳을 집중해서 공부하라.
자기가 특별히 싫어하고 잘 못하는 부분을 다소 여유 있는 시기(방학, 주말 등)에 집중해서 공부한다.
수학을 잘 하려면 수학적 개념이나 원리, 법칙을 단순히 암기하지 말고, 그것을 이해하고 응용하려고 노력해야 한다.
즉, 학년이 올라갈수록 수학을 잘 하려면 계산 문제보다는 수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고 그것을 활용하고 응용하는 방법을 생각하는 데 많은 노력을 기울여야 한다. 수학은 공식 암기에 앞서 기본적인 개념과 원리의 이해가 선행되어야 하는 과목이다.
수 학도 다른 교과와 마찬가지로 기억 주기 안에 복습이 이루어져야 효과를 극대화할 수 있다. 그날 배운 것은 집에 와서 반드시 복습하는 것이 효과적이며, 우선 정확한 개념과 원리를 복습하고, 공식을 활용하여 푸는 응용문제는 특히 많은 연습이 필요하다.

디지털시대 수학이 힘이다…… 금융예측도 수학자의 몫!

‘수학의 르네상스’가 오고 있다. 말 그대로 수학과 그 가치에 대한 관심이 높아지고, 수학을 다른 학문에 응용하려는 노력이 다방면에서 일어나고 있는 것이다. 

사회가 발전함에 따라 수학도 계속적으로 새로운 과제를 찾아 빠르게 발전하고 있다. 대표적인 예가 디지털 정보통신분야와 금융수학이다. 

전자상거래와 금융결제 등 인터넷 비즈니스에서 정보보안은 사활이 걸린 문제이다. 고객의 정보가 새어나가거나 걸어둔 암호가 해독되면 돌이킬 수 없는 타격을 입기 때문이다. 물론 이 문제가 경제 영역에만 국한되는 것은 아니다. 때로는 국가안보와 직결되기도 한다. 

이 때문에 암호학은 지식정보사회의 발전과 함께 새로운 첨단분야로 각광 받고 있다. 서울대 지동표교수(수리과학부)는 “인터넷 정보보안의 핵심인 암호기술은 수학 그 자체”라고 말한다. 

가상세계를 형상화하는 컴퓨터 그래픽과 애니메이션의 경우도 마찬가지다. 울퉁불퉁한 지형이나 나뭇가지와 같이 복잡하고 불규칙한 자연물을 마치 실물처럼 그대로 그려낼 수 있게 된 것은 70년대 수학계에 도입된 프랙탈이론이 있었기 때문이다. 

물체의 원근과 움직임을 실제대로 재현해 자연스런 애니메이션 영상을 만드는 데도 사영기하학(projective geometry), 리군(Lie group)이론 등 수학이론의 응용이 필수적이다. 또 디지털 TV와 무선인터넷의 성패를 좌우할 디지털 영상압축 기술 역시 수학 없이는 불가능하다. 

현대 자본주의의 꽃이라 불리는 금융산업도 수학을 빼고는 생각할 수 없게 됐다. 환율이나 금리, 주가와 같은 금융시장의 변동을 분석하고 예측하는 작업은 미분방정식과 확률론 등을 전공한 수학자들의 몫이 된지 오래다. 

앞으로도 DNA내 염기서열과 유전자의 기능을 밝히는 생명공학을 비롯해 많은 양의 정보를 고속으로 계산해야 할 필요가 있는 기상예측, 항공기 설계 등 많은 분야에서 수학이 결정적인 역할을 하리라는 데 이론의 여지가 없다. 

이 때문에 미국 클린턴 대통령은 이미 1997년 연두교서에서 특별히 수학의 중요성을 강조하고 수학교육을 강화하겠다는 의지를 밝힌 바 있다. 미국의 수리과학연구소(MSRI)와 수학―응용수학연구소(IMA)는 모두 국책연구소로 운영되고 있다. 



▼수학 잘하려면▼ 

복잡하고 어려운 수식의 나라, 수학을 잘 할 수 있는 방법은 없을까? 

아주대 방승진교수(수학과)는 수학을 잘하기 위한 마음가짐 가운데 실수를 두려워하지 않는 자신감을 첫째로 꼽는다. 설사 자기가 낸 답이 틀렸더라도 부끄러워할 필요가 없다는 것이다. 서두르지 말고 차근차근 풀이과정을 되짚어보면 고려하지 않은 조건이나 논리적인 비약을 알아낼 수 있고 또 다른 풀이방법을 찾을 수 있다는 것. 

주관식 문제를 자주 풀어보는 것도 중요하다. ‘외우는 수학’이 아니라 ‘생각하는 수학’이 되어야 하기 때문이다. 문제해결 방법과 해결과정을 끝까지 이해하고 자기 것으로 만들기 위해서는 해답을 미리 보는 것도 피해야 한다. 

수학을 잘하기 위해서는 무엇보다 수학에 재미와 즐거움을 느낄 수 있는 환경이 중요하다. 문제를 풀었을 때 칭찬을 듣고 늘 옆에 흥미를 주는 수학책이나 수학문제가 있는 게 학생들에게 자극과 함께 재미를 더해준다. 덧붙여 인내를 가지고 매일 한 문제씩이라도 풀어보는 습관을 갖는 것이 중요하다.

[한국일보 연재 Math4U 칼럼]